配列の番号はなぜ0から始まるのですか？

コンピュータが「先頭からいくつ離れているか」で場所を数えるためです。先頭は「0個ぶん離れた場所」なので0番。多くのプログラミング言語で共通のルールです。

constで作った配列に、なぜpushで追加できるのですか？

constが禁止するのは「棚ごと別のものに取りかえること」だからです。棚はそのままに、中身を追加したり入れかえたりするのは自由です。

番号が0から始まるぶん、最後の番号は「個数−1」です。likes.lengthが4なら、最後の値はlikes[3]で取り出せます。

変数は「名前をつけた箱」でした。でも、しまちゃんのすきなもの4つを持ちたいとき、箱を4つ用意してlike1、like2……と名前をつけるのは大変です。そこで登場するのが配列。箱がずらりと並んだ、名前つきの棚です。

const likes = ["おえかき", "ラーメン", "ゲーム", "しま"];

4つの値が、likesというひとつの名前にまとまりました。

棚から1つ取り出すときは、[番号]をつけます。

console.log(likes[0]);
console.log(likes[3]);

コンソールには「おえかき」と「しま」が出ます。……あれ、likes[3]が4番目？

.lengthをつけると、棚に入っている値の個数が分かります。

console.log(likes.length);

コンソールには4が出ます。中身が増えても減っても、likes.lengthはいつも正しい個数を答えてくれます。

pushを使うと、棚のいちばん後ろに値を追加できます。

likes.push("プログラミング");
console.log(likes.length);

すきなものが5つに増えました。constで作った配列でも、中身の追加や入れかえはできます（棚ごと別のものに取りかえるのがダメ、というルールです）。

番号を指定して=で入れると、その場所の値を書きかえられます。

likes[1] = "うどん";
console.log(likes[1]);

2番目（番号1）の「ラーメン」が「うどん」に変わりました。棚の2段目のものだけ入れかえるイメージです。取り出すときも入れかえるときも、場所の指定はいつも「名前＋番号」——この形さえ覚えれば配列は自由自在です。